Also ich geh mal davon aus, dass du den Inhalt der gesuch.txt Zeilenweise ausliest und jede Zeile einer Anzeige entspricht?
Das einfachste wäre dann:
1. einen Form mit Eingabefeld machen in das der Suchbegriff eingegeben wird.
<form method="post" action="suchergebnis.php">
<input type="text" name="suchbegriff">
<input type="submit" value="suchen">
</form>
2. die Seite suchergebnis.php die das Suchergebnis anzeigt ist im Prinzip die gleiche wie zum Anzeigen aller Gesuche, nur dass jetzt für jede Zeile geprüft wird ob der Suchbegriff darin vorkommt. Wenn ja wird die Zeile angezeigt, wenn nein einfach übersprungen und mit der nächsten Zeile weitergemacht.
der Code dazu sollte in etwa so aussehen:
if(preg_match('/'.$_POST['suchbegriff].'/i', $gesuchzeile))
{
// hier den vorhandenen PHP Code einfügen um das Gesuch anzuzeigen.
}